Can the 29 pentacubes be assembled into the figures set as problems in the German pentacube contests...
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Problem
Can the 29 pentacubes be assembled into the figures set as problems in
the German pentacube contests (Pentakubenwettbewerb / Preisaufgaben,
1991-93)?
The pieces are the 29 pentacubes (the five-cube solids, mirror images
counted separately), numbered 10 ... 90 as in Ekkehard Kuenzell's set
"Pentakubenspiele". Figures are given in height notation: each number
is the height of the column of cubes standing on that square.
Kraterberg ("crater mountain", Preisaufgabe 92/93):
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 2 2 1
1 2 3 3 3 3 3 2 1
1 2 3 2 2 2 3 2 1
1 2 3 2 1 2 3 2 1
1 2 3 2 2 2 3 2 1
1 2 3 3 3 3 3 2 1
1 2 2 2 2 2 2 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
The 7*7 box (Preisaufgabe 91/92, "kiste7.7"):
5 5 5 5 5 5 5
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
5 5 5 5 5 5 5
The 9*9 box:
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
The 15*7 frame of height 2:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
The other problems (the first contest of 18.10.92, the prize problem
of 1991, and "Cloven Mountain", Preisaufgabe 92/93) are shown with
their solutions.
[ Editor: problem statement reconstructed from the postings, which are
in German; the figures above are copied from Torsten Sillke's
solutions. ]
Show solution
[ Editor: Torsten Sillke's solutions, sent to the archive in August
1993 in reply to a query about the 5th Pentacube Contest 93/94. The
text is in German and was transmitted in a 7-bit character set, kept
here as received: read L as a-umlaut, N as o-umlaut, O as u-umlaut and
^ as sharp s (e.g. "WOrfel" = Wuerfel, "MNglichkeiten" =
Moeglichkeiten, "da^" = dass). In the solution diagrams each number
names the pentacube occupying that cell, layer by layer. ]
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Erster Pentakubenwettbewerb: Torsten Sillke, 18.10.92
Aufgabe: 2 2 2 2 2 2 b = 11
2 4 4 4"4 4 2
2 4 6 6"6 4 2 n" : die unteren beiden Kuben fehlen
4"6"b"6"4" im Stapel
2 4 6 6"6 4 2
2 4 4 4"4 4 2
2 2 2 2 2 2
Zerlegung: 2 2
4* 2 2 3 3 & 2 2 2 & (10)
2 2 3 3 2 4 2
3 3 2 2 2
0 0 0 0 0 0 40 35 34 0 0 51 11 11 0 0 22 12 72 0 0 80 70 37
0 0 13 41 0 0 40 34 34 0 0 32 11 31 0 0 22 12 30 0 0 80 37 37
0 0 42 41 0 61 40 34 0 0 32 32 11 0 0 36 36 12 0 0 80 80 80 0
0 0 42 41 0 61 61 20 0 0 32 33 11 0 0 36 71 12 0 0 90 90 90 0
0 0 0 0 0 0 35 35 81 0 0 51 51 31 0 0 22 72 72 0 0 70 70 37
0 0 13 60 0 0 35 20 34 0 0 51 82 31 0 0 36 30 30 0 0 50 37 21
42 42 42 60 0 61 40 20 0 0 33 33 82 0 0 71 36 12 0 0 50 50 50 0
0 0 41 41 0 61 40 20 0 0 32 33 33 0 0 71 71 71 0 0 90 50 90 0
0 0 0 0 0 0 81 81 81 0 0 51 31 31 0 0 22 22 72 0 0 21 70 70
0 0 13 60 0 0 35 20 81 0 0 82 82 82 0 0 30 30 72 0 0 21 21 21
0 0 13 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rechenzeit: 2 min (DEC 6000)
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Preisaufgabe 1991: Torsten Sillke
Die Zerlegung der Preisaufgabe in die Teile
2
4 mal 2 2 und die (50)
2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 1 1
2 2 2 1 1
71 10 82 21
11 11 35 10 82 82 41 41
81 12 11 37 35 10 31 31 82 20 20 41
60 60 12 11 37 37 80 10 31 31 32 70 34 51 20 41
61 60 60 12 11 42 80 80 80 10 33 33 70 70 70 34 34 36 20 20
61 61 72 60 12 . 22 42 42 42 80 . 33 33 40 40 70 . 90 34 90 36 36 .
71 35 13 21
71 71 35 35 82 13 41 21
81 81 71 37 30 30 13 13 13 51 21 21
72 81 12 37 30 30 31 32 32 51 51 51
72 72 81 42 22 30 33 32 32 34 36 36
61 61 72 22 22 22 40 40 40 90 90 90
hat 4 * 22 schwarze und 4 * 13 wei^e WOrfel, bei schachbrettartiger FLrbung
der GrundflLche. Nur die Pentakuben 37, 71, 72, 82 und 90 kNnnen vier schwarze
WOrfel Oberdecken; alle anderen nur drei. Somit lassen sich maximal 89 schwarze
WOrfel, und somit genau einen mehr als mNglich, Oberdecken.
Jede der Teilfiguren mu^ also einen oder zwei der Pentakuben 37, 71, 72, 82
oder 90 enthalten.
Als erstes habe ich alle MNglichkeiten ausgerechnet, eine Teilfigur zu legen.
Nach 20 min (auf einer HP 850) erhielt ich folgende Verteilung:
37 71 72 82 90
=====================================================
!
37 ! 8322 11277 11277 12172 7596
!
71 ! 5941 5190 5953 3537
!
72 ! 5941 5953 3537
!
82 ! 6004 4042
!
90 ! 4228
Hierbei bedeutet z.B. der Eintrag 12172 bei (37,82), da^ es genau 12172 ver-
schiedene MNglichkeiten gibt mit den Teilen 37 und 82 (und ohne 71, 72 und 90)
die Figur zu legen. Spiegelungen sind hierbei als verschieden gezLhlt worden.
Insgesamt gibt es somit
30436 MNglichkeiten davon 21016 verschiedene Partitionen mit einem, und
70534 MNglichkeiten davon 35416 verschiedene Partitionen mit zwei Pentakuben
aus der Menge {37, 71, 72, 82, 90}. Dies sind zusammen 100970 MNglichkeiten
bei 56432 Partitionen.
In zwei DurchlLufen wurden nun alle MNglichkeiten vier dieser Fieguren zu
bauen berechnet. Das Teil 50 liegt natOrlich die ganze Zeit extra. Es hatte
sich gezeigt, da^ das Teil 80 am schwersten unterzubringen ist, d. h. es kommt
nur in wenigen Partitionen vor. Und zwar in 750 Partitionen mit genau einem
und in 1912 Partitionen mit genau zwei Pentakuben aus der Menge {37, 71, 72,
82, 90}. FOr den ersten Fall errechnete ich
794118 MNglichkeiten bei 388245 Partitionen (nach 2 Stunden 40 Minuten)
und fOr den zweiten Fall ergaben sich
297760 MNglichkeiten bei 167279 Partitionen (nach ca 8 Stunden).
Dies ergibt zusammen:
1091878 MNglichkeiten bei 555524 Partitionen.
=============================================
Im Durchschnitt kommen also auf eine Partition zwei MNglichkeiten, d.h. nur
eine der vier Teilfiguren hat zwei und die anderen eine MNglichkeit. BerOck-
sichtigt man die Spiegelung, bleibt ungefLhr die HLlfte der MNglichkeiten
Obrig, wobei sich aber gerade die hohen Vielfachheiten reduzieren. Z. B. ist
der Satz (21, 22, 31, 32, 60, 71, 72) symmetrisch gegenOber Spiegelung, so da^
man die Anzahl der MNglichkeiten dieses Satzes bei BerOcksichtigung der Spiege-
lung zu halbieren hat.
Impossible: X
(height=2) X O X mit HNhe 2
X O X O X
X O X X O X
X O X X O X
X O X X O X
X O X X O X
X O X X O X
X O X O X
X O X
X
Dies ist die Preisaufgabe mit ausgestanztem Boden. Diese Figur hat 80 schwarze
und 40 wei^e WOrfel. Da aber nur die sechs Pentakuben (37, 50, 71, 72, 82, 90)
4 schwarze WOrfel Oberdecken kNnnen, lassen sich maximal 18*3+6*4 = 78 schwarze
WOrfel abdecken. Dieser Beweis benutzt die gleiche FLrbung, wie die in
"Praxis der Matematik" Jan 91 verwendetet, oder bei Martin Gardner zum UnmNg-
lichkeitsbeweis fOr die folgende Somafigur.
2
2 2 2 (Die Zahl gibt immer die HNhe
2 2 3 2 2 der WOrfel an)
2 2 2
2
[ Editor: in brief, for the 1991 prize problem: with a checkerboard
colouring of the base the figure has 4*22 black and 4*13 white cubes;
only pentacubes 37, 71, 72, 82 and 90 can cover four black cubes, so
each of the four parts must contain one or two of them. Sillke
counted 1091878 ways (555524 partitions). The "Impossible" figure,
the prize figure with its floor punched out, has 80 black and 40 white
cubes, but at most 18*3 + 6*4 = 78 black cubes can be covered. ]
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Pentakuben Preisaufgabe 91/92 (kiste7.7) (Lsg Torsten Sillke, BI, 23.10.91)
5 5 5 5 5 5 5 Die nebenstehende Kiste wird in vier Teile plus das
5 1 1 1 1 1 5 Teil 50 zerlegt.
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 Unten sind alle Partitionen aufgefOhrt, die
5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 viermal die nebenstehende Ecke ergeben. In
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 einem Fall gibt es zwei MNglichkeiten, diese
zusammenzusetzen.
Auf einer HP850 hat die Berechnung aller MNglichkeiten fOr diese Ecke 15 Min
und das Partitionieren in vier Ecken 52 Min gedauert.
1) 21 31 33 35 40 80 81: 1 11 12 41 42 61 82 90: 1 20 22 30 51 70 71 72: 1 10 13 32 34 36 37 60: 1 : 1
2) 12 21 22 35 37 71 80: 1 11 30 32 40 42 81 82: 1 20 31 33 51 60 61 90: 1 10 13 34 36 41 70 72: 1 : 1
3) 21 22 35 37 40 80 81: 1 10 32 33 41 42 70 72: 1 20 31 34 51 60 61 90: 1 11 12 13 30 36 71 82: 1 : 1
4) 21 31 33 35 40 80 81: 1 10 12 30 34 61 70 82: 1 22 32 42 51 60 72 90: 2 11 13 20 36 37 41 71: 1 : 2
5) 21 22 31 35 72 81 90: 1 11 30 40 41 61 80 82: 1 10 32 34 37 42 51 60: 1 12 13 20 33 36 70 71: 1 : 1
6) 21 22 31 35 72 81 90: 1 11 12 41 61 70 80 82: 1 10 32 34 37 42 51 60: 1 13 20 30 33 36 40 71: 1 : 1
7) 12 21 22 31 35 61 80: 1 10 32 42 70 72 81 82: 1 11 34 37 41 51 60 90: 1 13 20 30 33 36 40 71: 1 : 1
Schichtplan der ersten Lsg von unten nach oben.
81 81 31 42 42 42 22 22 22 10 36 13
81 33 31 31 61 82 82 82 70 51 22 72 36 36 13 32
81 33 33 31 61 61 82 11 51 51 51 72 13 13 13 32
81 42 22 10
35 42 70 36
33 33 40 31 61 61 82 11 70 51 72 72 36 34 32 32
80 90 70 10
35 90 70 34
35 35 40 40 41 41 41 11 20 30 30 72 34 34 32 60
80 90 20 10
80 41 20 37
80 35 21 40 41 12 11 11 20 71 30 30 34 37 60 60
80 90 20 10
21 90 71 37
21 21 21 40 12 12 12 12 71 71 71 30 37 37 60 60
[ Editor: in brief: the 7*7 box is split into four corner pieces plus
pentacube 50; all seven partitions into four corners are listed, one
of which can be assembled in two ways, followed by the layers of the
first solution from the bottom up. ]
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This figur is in the book 'pentacubes' of Sivy Farhi!
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Preisaufgabe 92/93: Kraterberg (Torsten Sillke)
1 2 2 2 2 2 2 2 1 (Bielefeld, 8.10.92)
1 2 3 3 3 3 3 2 1 Zerlegung:
1 2 3 2 2 2 3 2 1
1 2 3 2 1 2 3 2 1
1 2 3 2 2 2 3 2 1 4* 1 1 1 1 1 & (50)
1 2 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2'2 3 2 1
FOr eine Ecke gibt es 1285887 Lsg bei 459461 Teilmengen. Somit geht fast jeder
dritte siebenteilige PKensatz. Ich schLtze die Anzahl der Partitionen auf 10^7
bis 10^9.
Im folgenden einige Partitionen, bei denen die Teilmengen spiegelinvariant
sind (insbesondere lL^t sich also die ganze Figur spiegeln), und die Anzahl
der LNsungen mindestens hundert betrLgt.
6114) 30 35 36 51 71 72 90: 1S 21 22 33 34 37 41 42: 5S 13 31 32 40 70 80 81: 3S 10 11 12 20 60 61 82: 7S :105'105'
6860) 41 42 60 61 71 72 80:14S 31 32 33 34 37 40 90: 2S 13 21 22 30 35 36 51: 1S 10 11 12 20 70 81 82: 4S :112'112'
11139) 30 33 34 37 51 70 90: 1S 20 41 42 60 61 71 72:10S 13 31 32 35 36 80 82: 8S 10 11 12 21 22 40 81: 2S :160'160'
23321) 37 51 60 61 71 72 90: 7S 20 21 22 30 41 42 70: 1S 13 31 32 35 36 80 82: 8S 10 11 12 33 34 40 81: 2S :112'112'
30437) 21 22 41 42 61 71 72: 2S 20 30 33 34 60 81 90: 2S 13 31 32 37 40 80 82:10S 10 11 12 35 36 51 70: 3S :120'120'
37670) 21 22 37 51 70 81 90: 2S 20 30 33 34 41 42 61: 1S 13 31 32 35 36 80 82: 8S 10 11 12 40 60 71 72: 7S :112'112'
39235) 30 33 34 51 70 80 82: 1S 20 31 32 37 40 71 72: 2S 13 21 22 35 36 61 90: 5S 10 11 12 41 42 60 81:13S :130'130'
41949) 31 32 37 40 61 71 72: 3S 30 35 36 41 42 70 80: 2S 13 20 21 22 33 34 51: 1S 10 11 12 60 81 82 90:20S :120'120'
42089) 21 22 33 34 37 41 42: 5S 20 31 32 40 51 82 90: 1S 13 30 35 36 60 80 81: 5S 10 11 12 61 70 71 72: 5S :125'125'
43027) 31 32 37 40 60 71 72: 4S 30 35 36 41 42 70 80: 2S 13 20 21 22 33 34 51: 1S 10 11 12 61 81 82 90:18S :144'144'
63191) 21 22 33 34 41 42 81: 2S 20 30 35 36 70 80 82: 1S 12 37 60 61 71 72 90:25S 10 11 13 31 32 40 51: 2S :100'100'
63218) 21 22 33 34 37 41 42: 5S 20 30 35 36 70 80 82: 1S 12 60 61 71 72 81 90:19S 10 11 13 31 32 40 51: 2S :190'190'
73963) 31 32 60 70 71 72 82: 5S 21 22 33 34 41 42 81: 2S 12 20 30 40 61 80 90: 2S 10 11 13 35 36 37 51: 5S :100'100'
74506) 31 32 33 34 60 82 90: 5S 20 21 22 30 41 42 70: 1S 12 40 61 71 72 80 81: 4S 10 11 13 35 36 37 51: 5S :100'100'
74839) 31 32 41 42 61 71 72: 8S 20 30 33 34 70 80 82: 1S 12 21 22 37 51 81 90: 3S 10 11 13 35 36 40 60: 5S :120'120'
42098) 21 22 37 40 41 42 51: 3S 20 30 33 34 60 81 90: 2S 13 31 32 35 36 80 82: 8S 10 11 12 61 70 71 72: 5S :240'240'
Preisaufgabe 92/93: Kraterberg (Torsten Sillke, Bielefeld, 8.10.92)
Da die vier Eckenzerlegung noch zu viele Lsgen hat, hier noch eine viel feine Unterteilung, bei der jede Ecke in zwei Teile A&B
zerlegt wird. Da die (10) hier nicht hineinpa^t, habe ich einmal in C&D&(10) zerlegt. Wie man sieht: "Fast alles geht!"
3 3 2 1 2'3 2 2 2 2 (bei 2' ist nur in zweiter Lage ein WOrfel)
A: 2 2 2 1 B: 2'3 2 1 C: 2 3 2 D: 2 2 2 (bei 3" ist nur in dritter Lage ein WOrfel)
1 1 1 1 2 3 2 1 3"3" 1 1 1 A&B = C&D&(10) = Viertel
Alle LNsungen der obigen Zerlegung: 3*A + 3*B + C + D + (10,50). Partitionen: 422, LNsungen: 749, LNsungen (ohne Spiegelung): 738
========== A ============== A ============== A ============= B =========== B =========== B =========== D =========== C =============
1) 30 35 60 80: 1 13 33 36 81: 1 12 22 51 72: 1 32 42 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 20 34 61: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
2) 30 32 60 80: 1 13 20 42 70: 1 11 34 51 72: 2 61 71 81: 1 33 35 90: 1 12 40 82: 1S 22 31 36: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
3) 32 60 61 80: 1 13 20 42 70: 1 11 34 51 72: 2 31 81 90: 2 30 36 71: 1 12 40 82: 1S 22 33 35: 1 21 37 41: 1 : 4' 4'
4) 30 32 60 80: 1 13 20 42 70: 1 11 34 51 72: 2 36 61 71: 1 31 81 90: 2 12 40 82: 1S 22 33 35: 1 21 37 41: 1 : 4' 4'
5) 31 32 34 90: 2 30 35 60 80: 1 13 20 42 70: 1 61 71 81: 1 12 40 82: 1S 11 36 72: 1 22 33 51: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
6) 30 35 60 80: 1 13 20 71 81: 1 12 34 61 70: 1 32 42 90: 1 31 40 82: 1 11 36 72: 1 22 33 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
7) 30 35 60 80: 1 13 20 71 81: 1 12 34 61 70: 1 32 42 90: 1 31 40 72: 1 11 36 82: 1 22 33 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
8) 33 60 80 82: 1 13 20 30 42: 1 12 32 35 61: 1 34 36 90: 1 31 40 72: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
9) 20 30 33 82: 2 13 42 60 80: 4 12 32 35 61: 1 34 36 90: 1 31 40 72: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 8' 8'
10) 20 36 42 60: 1 13 30 61 80: 1S 12 32 34 72: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
11) 13 20 80 90: 2S 12 35 42 61: 1 11 32 34 36: 2 60 70 71: 1 31 40 82: 1 30 33 72: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 4' 4'
12) 13 20 80 90: 2S 12 34 61 70: 1 11 32 33 35: 2 42 60 72: 1 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 4' 4'
13) 13 20 80 90: 2S 12 32 35 61: 1 11 33 34 70: 1S 42 60 72: 1 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
14) 32 33 60 80: 1 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 61 72 90: 1 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 51 81: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
15) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 61 81 90: 1S 36 60 72: 1 30 40 71: 1 31 33 51: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
16) 22 32 80 82: 1 13 20 36 61: 1 12 30 40 81: 1S 60 70 71: 1 33 35 90: 1 11 42 72: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
17) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 12 30 40 81: 1S 36 61 71: 1 33 35 90: 1 11 60 72: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
18) 22 32 80 82: 1 13 20 36 61: 1 12 30 40 81: 1S 42 60 72: 1 33 35 90: 1 11 70 71: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
19) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 11 40 60 81: 1S 36 61 71: 1 33 35 90: 1 12 30 72: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
20) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 11 36 40 61: 1 60 71 81: 1 33 35 90: 1 12 30 72: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
21) 22 32 80 82: 1 13 20 36 61: 1 11 40 42 70: 1 60 71 81: 1 33 35 90: 1 12 30 72: 1 31 34 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
22) 32 36 60 81: 1 13 20 42 70: 1 12 22 51 72: 1 33 35 90: 1 30 40 71: 1 11 61 82: 1S 31 34 80: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
23) 20 36 42 60: 1 12 22 51 72: 1 11 32 35 70: 1 61 81 90: 1S 30 40 71: 1 13 33 82: 1 31 34 80: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
24) 13 20 42 70: 1 12 22 51 72: 1 11 32 33 35: 2 61 81 90: 1S 36 60 82: 1 30 40 71: 1 31 34 80: 1 21 37 41: 1 : 2' 2'
25) 30 35 60 80: 1 22 31 34 90: 1 13 20 42 70: 1 61 71 81: 1 12 40 82: 1S 11 36 72: 1 32 33 51: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
26) 13 20 30 42: 1 12 22 51 72: 1 11 35 61 70: 1 60 71 81: 1 34 36 90: 1 31 40 82: 1 32 33 80: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
27) 30 32 60 80: 1 13 20 36 61: 1 12 22 51 72: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 34 42 81: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
28) 32 33 60 80: 1 13 20 30 42: 1 12 22 51 72: 1 34 36 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 35 61 81: 1 21 37 41: 1 : 1' 1'
29) 36 41 60 80: 1 13 20 30 42: 1 12 32 34 72: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 37 61: 1 : 1' 1'
30) 20 30 36 41: 1 13 42 60 80: 4 12 32 34 72: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 37 61: 1 : 4' 4'
31) 32 36 41 42: 1 13 20 80 90: 2S 11 12 34 35: 2 60 70 71: 1 31 40 82: 1 30 33 72: 1 22 51 81: 1 21 37 61: 1 : 4' 4'
32) 33 60 80 82: 1 13 20 41 70: 1 11 12 34 35: 2 32 42 90: 1 31 40 72: 1 30 36 71: 1 22 51 81: 1 21 37 61: 1 : 2' 2'
33) 13 20 41 70: 1 12 22 51 72: 1 11 30 35 42: 1 60 71 81: 1 34 36 90: 1 31 40 82: 1 32 33 80: 1 21 37 61: 1 : 1' 1'
34) 22 41 71 80: 1 13 20 42 70: 1 11 36 60 81: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 12 30 72: 1 32 34 51: 1 21 37 61: 1 : 1' 1'
35) 20 30 36 41: 1 13 33 34 42: 1 12 32 35 61: 1 37 80 82: 1S 31 40 72: 1 11 70 71: 1 22 51 81: 1 21 60 90: 1 : 1' 1'
36) 13 20 42 70: 1 12 34 37 80: 1 11 32 33 35: 2 41 61 72: 2 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 51 81: 1 21 60 90: 1 : 4' 4'
37) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 41 61 72: 2 36 37 81: 1 30 40 71: 1 31 33 51: 1 21 60 90: 1 : 4' 4'
38) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 12 35 42 61: 1 33 37 81: 1 30 40 71: 1 11 36 72: 1 31 34 51: 1 21 60 90: 1 : 1' 1'
39) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 12 33 61 81: 1 35 37 40: 1 30 36 71: 1 11 42 72: 1 31 34 51: 1 21 60 90: 1 : 1' 1'
40) 22 41 71 80: 1 13 20 30 42: 1 11 32 35 70: 1 36 37 81: 1 33 61 72: 1 12 40 82: 1S 31 34 51: 1 21 60 90: 1 : 1' 1'
41) 22 32 80 82: 1 13 20 42 70: 1 11 12 36 41: 1 61 71 81: 1 35 37 40: 1 30 33 72: 1 31 34 51: 1 21 60 90: 1 : 1' 1'
42) 22 41 71 80: 1 13 20 30 42: 1 11 12 34 35: 2 61 70 82: 1S 36 37 81: 1 31 40 72: 1 32 33 51: 1 21 60 90: 1 : 2' 2'
43) 30 37 42 80: 1 20 32 33 60: 1 12 22 51 72: 1 34 36 90: 1 31 40 82: 1 11 70 71: 1 13 35 41: 2 21 61 81: 1 : 2' 2'
44) 31 32 34 90: 2 30 35 60 80: 1 12 22 51 72: 1 33 37 40: 1 13 36 82: 1 11 70 71: 1 20 41 42: 2S 21 61 81: 1 : 4' 2'
45) 13 20 41 70: 1 12 32 42 60: 1 11 34 51 72: 2 37 80 82: 1S 33 35 90: 1 30 40 71: 1 22 31 36: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
46) 13 20 42 70: 1 12 31 36 60: 1 11 34 51 72: 2 37 80 82: 1S 33 35 90: 1 30 40 71: 1 22 32 41: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
47) 32 51 60 90: 1 13 20 41 70: 1 12 34 37 80: 1 31 40 82: 1 30 36 71: 1 11 42 72: 1 22 33 35: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
48) 30 32 41 42: 1 13 20 80 90: 2S 11 34 51 72: 2 60 70 71: 1 31 40 82: 1 12 36 37: 1 22 33 35: 1 21 61 81: 1 : 4' 4'
49) 30 32 41 42: 1 13 20 80 90: 2S 11 34 51 72: 2 60 70 71: 1 31 36 37: 1 12 40 82: 1S 22 33 35: 1 21 61 81: 1 : 4' 4'
50) 13 20 41 70: 1 12 31 36 60: 1 11 34 51 72: 2 37 80 82: 1S 32 42 90: 1 30 40 71: 1 22 33 35: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
51) 41 60 80 90: 1 13 20 42 70: 1 12 32 35 82: 1 31 34 37: 1 30 40 71: 1 11 36 72: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
52) 36 42 80 90: 1 13 20 41 70: 1 12 32 35 82: 1 31 34 37: 1 30 40 71: 1 11 60 72: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
53) 36 42 80 90: 1 32 35 41 60: 1 13 20 34 37: 1 31 40 82: 1 12 30 72: 1 11 70 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
54) 20 30 36 41: 1 13 35 60 82: 5 12 34 37 80: 1 32 42 90: 1 31 40 72: 1 11 70 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 5' 5'
55) 32 36 41 42: 1 13 20 80 90: 2S 11 35 40 82: 1 60 70 71: 1 31 34 37: 1 12 30 72: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
56) 13 20 80 90: 2S 12 32 35 82: 1 11 40 41 70: 1 42 60 72: 1 31 34 37: 1 30 36 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
57) 32 41 60 90: 1 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 37 80 82: 1S 31 40 72: 1 30 36 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
58) 41 60 80 90: 1 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 32 37 72: 2 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 4' 4'
59) 13 20 41 70: 1 12 34 37 80: 1 11 35 60 72: 1 32 42 90: 1 31 40 82: 1 30 36 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
60) 32 36 60 72: 2 13 20 42 70: 1 11 12 34 35: 2 37 80 82: 1S 31 41 90: 1 30 40 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 4' 4'
61) 13 20 42 70: 1 12 31 32 60: 1S 11 35 41 72: 1 37 80 82: 1S 34 36 90: 1 30 40 71: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 1' 1'
62) 20 30 36 41: 1 13 60 70 71: 1 11 12 34 35: 2 37 80 82: 1S 32 42 90: 1 31 40 72: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
63) 32 36 41 90: 1 13 20 30 42: 1 11 12 34 35: 2 60 70 71: 1 37 80 82: 1S 31 40 72: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
64) 13 20 80 90: 2S 12 32 34 72: 1 11 30 35 42: 1 60 70 71: 1 36 37 41: 1 31 40 82: 1 22 33 51: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
65) 30 32 60 80: 1 13 20 41 70: 1 11 34 51 72: 2 33 35 90: 1 31 40 82: 1 12 36 37: 1 22 42 71: 1 21 61 81: 1 : 2' 2'
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67) 22 41 71 80: 1 13 20 42 70: 1 11 33 51 60: 1 35 37 40: 1 34 36 90: 1 12 30 72: 1 31 32 82: 2S 21 61 81: 1 : 2' 1'
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396) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 11 33 51 60: 1 35 37 40: 1 31 81 90: 2 12 30 72: 1 21 34 36: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
397) 30 35 60 80: 1 13 20 41 70: 1 12 22 32 82: 1 33 37 40: 1 31 81 90: 2 11 36 72: 1 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
398) 30 35 60 80: 1 13 20 41 70: 1 12 22 32 72: 1 33 37 40: 1 31 81 90: 2 11 36 82: 1 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
399) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 12 30 40 81: 1S 33 35 90: 1 31 36 37: 1 11 60 72: 1 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
400) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 11 40 60 81: 1S 33 35 90: 1 31 36 37: 1 12 30 72: 1 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
401) 22 32 80 82: 1 13 20 41 70: 1 11 30 60 81: 1S 33 35 90: 1 31 40 72: 1 12 36 37: 1 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
402) 30 31 36 41: 1 13 20 80 90: 2S 11 32 35 70: 1 33 37 81: 1 22 60 72: 1 12 40 82: 1S 21 34 51: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
403) 32 33 60 80: 1 22 31 34 90: 1 13 20 41 70: 1 35 37 40: 1 12 30 72: 1 11 36 82: 1 21 51 81: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
404) 30 32 60 80: 1 13 20 41 70: 1 11 22 34 82: 2 33 35 90: 1 31 40 72: 1 12 36 37: 1 21 51 81: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
405) 30 35 60 80: 1 13 20 41 70: 1 12 32 34 72: 1 36 37 81: 1 31 40 82: 1 11 21 90: 1 22 33 51: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
406) 30 35 60 80: 1 21 32 33 90: 1 13 20 41 70: 1 31 40 82: 1 12 34 37: 1 11 36 72: 1 22 51 81: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
407) 30 35 60 80: 1 21 32 33 90: 1 13 20 41 70: 1 31 34 37: 1 12 40 82: 1S 11 36 72: 1 22 51 81: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
408) 30 35 60 80: 1 21 32 33 90: 1 13 20 41 70: 1 31 40 72: 1 12 34 37: 1 11 36 82: 1 22 51 81: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
409) 21 32 35 60: 1 13 20 80 90: 2S 11 33 34 70: 1S 36 37 41: 1 31 40 82: 1 12 30 72: 1 22 51 81: 1 42 61 71: 1 : 2' 2'
410) 20 30 36 41: 1 12 34 37 80: 1 11 32 35 70: 1 31 40 72: 1 21 60 90: 1 13 33 82: 1 22 51 81: 1 42 61 71: 1 : 1' 1'
411) 30 60 61 80: 1S 13 20 41 70: 1 11 22 32 42: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 12 36 37: 1 21 34 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
412) 30 60 61 80: 1S 13 20 41 70: 1 11 22 32 42: 1 33 35 90: 1 31 36 37: 1 12 40 82: 1S 21 34 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
413) 30 60 61 80: 1S 13 20 42 70: 1 11 12 32 36: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 22 37 41: 1 21 34 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
414) 30 60 61 80: 1S 13 20 41 70: 1 11 12 32 36: 1 33 35 90: 1 31 40 82: 1 22 37 42: 1 21 34 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
415) 20 30 36 41: 1 13 42 61 80: 1 11 32 35 70: 1 31 40 82: 1 21 60 90: 1 12 34 37: 1 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
416) 30 60 61 80: 1S 13 20 41 70: 1 11 31 35 42: 1 34 36 90: 1 21 32 37: 1 12 40 82: 1S 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
417) 30 35 60 80: 1 13 20 42 70: 1 11 32 34 36: 2 31 41 90: 1 21 37 61: 1 12 40 82: 1S 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 2' 2'
418) 30 32 60 80: 1 13 20 41 70: 1 11 31 35 42: 1 34 36 90: 1 21 37 61: 1 12 40 82: 1S 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
419) 20 30 36 41: 1 13 42 61 80: 1 11 32 35 70: 1 31 34 37: 1 21 60 90: 1 12 40 82: 1S 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
420) 30 35 60 80: 1 13 20 41 70: 1 11 21 32 42: 1 34 36 90: 1 31 37 61: 1 12 40 82: 1S 22 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
421) 30 35 60 80: 1 13 20 41 70: 1 11 22 32 42: 1 34 36 90: 1 21 37 61: 1 12 40 82: 1S 31 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
422) 30 35 60 80: 1 13 20 42 70: 1 12 22 34 61: 1 36 37 41: 1 31 40 82: 1 11 21 90: 1 32 33 51: 1 71 72 81: 1S : 1' 1'
[ Editor: in brief, for the Kraterberg: one quarter ("Ecke") has
1285887 solutions from 459461 seven-piece subsets, so nearly every
third seven-piece set works; Sillke estimates 10^7 to 10^9 partitions
of the whole figure, and lists partitions with mirror-symmetric subsets
and at least 100 solutions. He then splits each quarter further (into
A & B, or C & D & piece 10) and finds 422 partitions with 749
solutions (738 up to reflection): "Fast alles geht!" (almost anything
works). ]
--------------------------------------------------------------------------
Preisaufgabe 92/93: Cloven Mountain (Torsten Sillke, Bielefeld, 18.12.92)
30
22 30 70
22 30 70
32 22 11 42 42
32 32 30 70 42
82 32 30 70 42
80 22 22 11 42 20 20
80 80 80 11 70 20 13
80 82 32 11 20 20 13
82 82 82 11 13 13 13
71 33 72 21 21 21 41 12 51
33 33 72 72 50 21 41 12 12
33 81 72 50 50 50 40 12 36
61 81 31 31 50 34 40 12 36
81 81 31 37 37 34 40 35 35
71 71 71 72 21 41 41 41 51 51 51
71 33 51 36
61 61 10 10 10 10 10 36 36
61 61 35 35
60 60 81 31 37 34 34 40 90 35 90
60 60 60 31 37 37 34 40 90 90 90
Gibt man diese Zerlegung in sechs Teile vor und hat 11, 30 und 50
in obigen Positionen, so gibt es bis auf Spiegelung nur eine Lsg.
[ Editor: in brief: given this division into six parts, with pieces
11, 30 and 50 in the positions shown, there is only one solution up to
reflection. ]
--------------------------------------------------------------------------
Pentakubenaufgabe: (Die 9*9 Kiste)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 Diese Figur wird zerlegt in
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3 viermal 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3
3 1 1 1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 und die 50 (in der Mitte).
Im folgenden werden vier Teilfiguren aus je sieben Pentakuben gebaut.
Die Zahl hinter dem Doppelpunkt gibt die Anzahl der verschiedenen
MNglichkeiten an, die Figur aus den Teilen zu legen. Dies sind alle
LNsungen dieser Zerlegung.
1) 30 31 32 33 51 80 90: 1 20 22 40 42 61 70 71: 1 10 21 34 36 37 60 81: 1 11 12 13 35 41 72 82: 1 : 1
2) 20 22 37 61 70 71 72: 1 12 30 32 51 80 82 90: 1 10 21 34 36 41 60 81: 1 11 13 31 33 35 40 42: 1 : 1
3) 30 32 51 71 80 82 90: 1 12 21 31 37 60 61 81: 2 10 20 22 34 36 40 41: 1 11 13 33 35 42 70 72: 1 : 2
4) 21 33 61 70 72 81 90: 1 12 20 30 31 32 34 41: 1 10 22 36 40 71 80 82: 1 11 13 35 37 42 51 60: 1 : 1
5) 20 30 31 32 37 51 90: 1 13 22 33 34 42 60 61: 1 10 12 21 36 40 81 82: 1 11 35 41 70 71 72 80: 1 : 1
6) 13 21 33 37 60 61 81: 2 12 20 30 31 32 34 41: 1 10 22 36 40 71 80 82: 1 11 35 42 51 70 72 90: 1 : 2
7) 20 30 31 32 37 51 90: 1 11 33 34 41 42 60 81: 1 10 22 36 40 71 80 82: 1 12 13 21 35 61 70 72: 1 : 1
8) 20 33 51 61 70 72 90: 1 11 21 30 34 37 41 42: 1 10 22 36 40 71 80 82: 1 12 13 31 32 35 60 81: 1 : 1
9) 20 22 31 32 61 70 80: 1 11 30 33 41 51 71 90: 1 10 21 34 36 37 60 81: 1 12 13 35 40 42 72 82: 1 : 1
10) 20 30 31 32 37 51 90: 1 10 11 34 40 41 42 82: 1 13 33 36 70 71 72 80: 1 12 21 22 35 60 61 81: 1 : 1
11) 30 31 32 33 51 80 90: 1 11 12 22 34 40 41 42: 1 10 21 36 60 61 81 82: 1 13 20 35 37 70 71 72: 1 : 1
12) 21 34 41 42 60 61 81: 1 11 12 30 31 32 33 51: 1 10 22 36 40 80 82 90: 1 13 20 35 37 70 71 72: 1 : 1
13) 11 33 42 51 60 61 90: 1 10 22 31 34 40 80 82: 1 12 21 30 32 36 41 81: 1 13 20 35 37 70 71 72: 1 : 1
14) 12 21 32 37 80 81 82: 1 11 33 34 42 70 72 90: 1 10 20 30 36 40 61 71: 1 13 22 31 35 41 51 60: 1 : 1
15) 11 20 30 32 37 41 82: 1 10 12 21 33 34 40 61: 1 22 36 42 60 71 81 90: 1 13 31 35 51 70 72 80: 1 : 1
16) 20 30 32 33 51 61 90: 1 12 34 41 42 70 72 80: 1 10 11 21 31 37 40 82: 1 13 22 35 36 60 71 81: 1 : 1
17) 20 30 32 33 51 61 90: 1 12 21 31 37 70 72 80: 1 10 11 34 40 41 42 82: 1 13 22 35 36 60 71 81: 1 : 1
[ Editor: in brief: the 9*9 box is split into four equal corner parts
of seven pentacubes each plus piece 50 in the middle; the number after
each colon is the number of ways to build that part; these are all the
solutions of this division (17 partitions). ]
--------------------------------------------------------------------------
Kisten aus 29 PKen: Torsten Sillke, BI, 19.12.92
Aussenmasse: 3*3*18 : 17 Inhalt (Laenge*Breite*Hoehe)
7*7*5 : 100 Inhalt
9*9*3 : 98 Inhalt
15*7*2 : 65 Inhalt dies ist ein Rahmen.
Hier nun der Rahmen:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A A A x a a a a a a a a a a a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A A A a a a a a a a a a a a a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A A A a a a a a a a a a a a a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A A A A a 1 1 1 1 1 b B B B B
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 b b b b b b b b b b b b B B B
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 b b b b b b b b b b b b B B B
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b b b b b b b b b b x B B B
Zerlegung in vier (je zwei gleiche) Teile und die (10).
. . . . . . . . . . 20 80 80 80 72 . . . . . . . . . . . 50 11 11 11 11
60 41 22 22 12 12 12 12 20 20 20 42 80 72 72 . 90 70 70 13 13 13 40 40 40 50 50 50 30 30 21
60 41 22 61 36 36 12 51 20 35 35 42 80 31 72 . 70 70 82 13 37 37 34 32 40 40 50 71 33 30 30
60 41 22 61 61 36 51 51 51 35 42 42 31 31 81 . 90 70 82 13 37 34 34 32 32 71 71 71 33 33 30
. . . . . . . . . . . . . . 72 . . . . . . . . . . . . . . . 11
60 . . . . . . . . . . . . . 81 . 90 . . . . . . . . . . . . . 21
60 . . . . . . . . . . . . . 81 . 90 . . . . . . . . . . . . . 21
41 41 22 61 61 36 36 51 35 35 42 31 31 81 81 . 90 82 82 82 37 37 34 34 32 32 71 33 33 21 21
Eine andere Zerlegung: a a a a a b b b b b a a a a a
a a a a a b b b b b a a a a a
(Dies liefert auch a a a a a b b b b b a a a a a
einen 7*10 Rahmen.) a a a a a 1 1 1 1 1 a a a a a
a a a a a b b b b b a a a a a
a a a a a b b b b b a a a a a
a a a a a b b b b b a a a a a
. . . . . . . . . . . . 71 12 12 12 12 70 90 . 32 32 80 80 80 31 31
. . . . . . . . . . . . 71 71 50 12 70 70 70 . 20 32 32 80 31 31 61
81 60 60 21 21 . 22 22 13 13 13 . 71 50 50 50 70 35 90 . 20 20 20 80 30 61 61
81 60 60 41 21 . 22 37 37 34 13 . 40 33 50 82 72 35 35 . 36 36 20 51 30 30 42
81 81 60 41 21 . 22 37 34 34 13 . 40 33 33 82 72 72 72 . 11 36 51 51 51 30 30
. . . . . . . . . . . . 71 . . . . . 90 . 32 . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 90 . 11 . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 90 . 11 . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 35 . 11 . . . . . 42
81 41 41 41 21 . 22 37 37 34 34 . 33 33 82 82 82 72 35 . 11 36 36 51 42 42 42
. . . . . . . . . . . . 32 32 70 70 71 71 71 . 61 61 30 11 11 11 11
. . . . . . . . . . . . 20 32 32 70 70 71 72 . 61 30 30 11 80 82 82
81 60 60 21 21 . 22 22 13 13 13 . 20 20 20 70 50 72 72 . 30 30 80 80 80 31 31
81 60 60 41 21 . 22 37 37 34 13 . 40 33 20 50 50 50 72 . 35 35 36 36 80 51 31
81 81 60 41 21 . 22 37 34 34 13 . 40 33 33 12 50 42 42 . 90 35 90 36 51 51 51
. . . . . . . . . . . . 32 . . . . . 71 . 61 . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 72 . 61 . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 42 . 35 . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . 40 . . . . . 42 . 35 . . . . . 31
81 41 41 41 21 . 22 37 37 34 34 . 33 33 12 12 12 12 42 . 90 90 90 36 36 51 31
[ Editor: in brief: hollow boxes from all 29 pentacubes, outer
dimensions 3*3*18, 7*7*5, 9*9*3 and 15*7*2 (the last a frame), with
empty interiors of 17, 100, 98 and 65 cells (outer volume minus 145).
The frame is split into four parts (two pairs of equal ones) and piece
10; another division also gives a 7*10 frame. ]
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Ekkehard K"unzell who organizes the Pentacube contest is a pensioned
teacher. `Pentakubenspiele' is a one-person firm with one product
`pentacubes'. He invented a dozen games for two and more persons to be
played with the pentacubes. In his book you will find games as
kim-games, building towers (balancing), nim games, or a variant of
cathedral or two level tetris. In his book aren't so many figures. He
lays the stress on the games not on the puzzles.
-- Torsten Sillke <sieda@HRZ.Uni-Bielefeld.DE>
[ Editor: for Sillke's list of polycube box-packing results and open
problems, sent with this material, see geometry/tiling/polycube.boxes. ]